Differentialekvationsanteckningar till Elsa

1. Differentialekvationer (Diffekvationer)
- 1.1. Linjära diff-ekv.
2. Verifera lösningar
3. Integrerande faktor
4. Homogen
5. Inhomogena
6. Diff. Ekv applikationer
- 6.1. Riktningsfält
- 6.2. Bladningsproblem
7. Andra ordningens diff. ekv
8. Komplexa tal
- 8.1. Diff. ekv
9. Inhomogena linjära differentialekvationer av andra ordningen
- 9.1. Specialfall: $h_(x) = c$
- 9.2. Exempel

1. Differentialekvationer (Diffekvationer)

En diff-ekv är en ekvation som innehåller en eller flera derivator till en funktion. Målet är att komma fram till den ursprungliga funktionen.

$f(x) = x^3 - e^x$ Bestäm $F(x)$

$f'(x) = x^3 - e^x$ Bestäm $f(x)$

Oftast används funktionen $y$ $y' = x^3 - e^x$ $y = \frac{x^4}{4} - e^x + C$

Radioaktivetet: Om $y$ är mängden radioaktivt ämne så förändras mängden ämne $\frac{dy}{dt} = -ky$ Hur mycket som sönderfaller är prop. mot mängden material.

Newton's avsvalningslag: $T(t)$ $\frac{dT}{dt} = k(T - T_0)$

$y(0) = 4$

$y(0) = -e^0 + C = 4$ $C = 5$ Partikulärlösning

1.1. Linjära diff-ekv.

Om högsta ordningen av derivatan är 1 har vi en diff ekv- av första ordningen ex: $y' +y= 3x$ Andra ordningen: $y'' - 3y' + y = 3x$

2. Verifera lösningar

Är $y = \sqrt{2x}$ en lösning till $y' = \frac{1}{y}$ ? Lösning: $y = \sqrt{2x} = \sqrt{2} \sqrt{x}$ $y' = \sqrt{2}= \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{y} = HL$

Visa att $y = \sqrt{x^2 + C}$ är en lösning till $y' = \frac{x}{y}$ $y'= \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + C}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + C}} = \frac{x}{y}$

3. Integrerande faktor

Att lösa linjära diff-ekv. Def. Linjära funktioner En funktion $\mathcal{L}$ om följande är uppfyllt a) $\mathcal{L}(x+y) = \mathcal{L}(x) + \mathcal{L}(y)$ b) $\mathcal{L}(\alpha x) = \alpha \mathcal{L}(x)$

Räta linjer är ej linjära: $V.L. y(\alpha x) = k \cdot \alpha + m$ $H.L = \alpha(kx+m) = \alpha kx + \alpha m$

$\mathcal{L}(y) = y' + g(x)y$ $y' + g(x) \cdot y = h(x)$

OBS: Integrerande faktor fungerar endast på LINJÄRA ekvationer.

Algebraisk lösning av linj. diff. ekv. av 1:a ordningen: $y' + g(x) \cdot y = h(x)$ Målet är att bestämma y.

Plocka ut $g(x)$
Ta en primitiv $G(x)$
Skapa integrerande faktor (I.F.) $e^{G(x)}$
Multiplicera båda led med I.F. $(e^{G(x)} y' + g(x) \cdot y = h(x))$
Detta är lika med $\frac{d}{dx}(y\cdot e^{G(x)}) = h(x) e^{G(x)}$
Integrera! $e^{G(x)}y = \int h(x)e^{G(x)}dx$
$y = e^{-G(x)} \int h(x) e^{G(x)}$

Homogena linj. diff. ekv: Om $h(x) = 0$ då kallas diff. ekv. för homogen. DVS. $y' + g(x) \cdot y = 0$ $e^{G(x)} (y' + g(x) = 0 \cdot e^{G(x)}$ $e^{G(x)}y = C$ $y = C \cdot e^{-G(x)}$

Exempel:

$y$ okänd funktion som beror på x, $g(x)$ och $h(x)$ kända funktioner. $\mathcal{L}(y) = y' + g(x)y$ a) $\mathcal{L}(y_1 + y_2) = (y_1 + y_2)' + g(x)(y_1 + y_2) = y_1' + y_2' + g(x)y_1 + g(x)y_2 = \mathcal{L}(y_1) + \mathcal{L}(y_2)$ b) $\mathcal{L}(\alpha y) = (\alpha y)' + g(x) \cdot (\alpha y) = \alpha \cdot y' + \alpha \cdot g(x) \cdot y = \alpha \mathcal{L}(y)$

$y' = x \cdot y$, är linjär. $y'= \frac{x}{y}$, ej linjär ($= y \©dot y' = x$). $y' = \frac{y}{\cos{x}} = 0$, är linjär. $\sqrt{y'} + y = 2x$, Ej linjär, behöver kvadrera.

4. Homogen

$y' -2y= 0$ $g(x) = -2$ $G(x) = -2x$ IF $e^{-2x}$ $\frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = 0$ $e^{-2x}y = C$ $y = C \cdot e^{2x}$

$y' = 3y = 0$ $g(x) = 3$ $G(x) = 3x$ $I.F. = e^{3x}$ $e^{3x}(y' + 3y) = 0$ $\frac{d}{dx}(e^{3x}\cdot y) = 0 = 3 \cdot e^{3x} \cdot y + e^{3x} \cdot y' = e^{3x}(y' + 3y)$ $e^{3x}y = C$ $y = C \cdot e^{-3x}$

$\frac{1}{x}y' + y = 0$ $y' + xy = 0$ $g(x) = x$ $G(x) = \frac{x^2}{2}$

$e^{\frac{x^2}{2}}(y' + xy) = 0$ $\frac{d}{dx}(e^(\frac{x^2}{2}) = 0$ $e^{\frac{x^2}{2}} y = C$ $y = C e^{\frac{x^2}{2}}$

5. Inhomogena

Som homogena men att högerledet inte är 0. $y' + g(x)y = h(x)$

Ex. $y' + 2y = x$ $g(x) = 2$, $h(x) = x$ $G(x) = 2x$

$e^{2x}(y' + 2y) = x e^{2x}$ $\frac{d}{dx}(e^{2x} \cdot y)$

\[ xe^{2x} = \int x e^{2x}dx = \frac{xe^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}dx = \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C \] $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + Ce^{-2x}$

$y' - 3y = x^2$ $g(x) = -3$ $h(x) = x^2$

$e^{-3x}(y' - 3y) = x^2e^{-3x} = x^2$

\[ e^{-3x}y = \int x^2e^{-3x}dx = \frac{-x^2e^{-3x}}{3} - \frac{-2xe^{-3x}}{3}dx = - \frac{x^2e^-3x}{3} + \int \frac{2xe^{-3x}}{3}dx = \] \[ = \int \frac{x^2e^{-3x}}{3} - \frac{2xe^-3x}{9} - \int -\frac{2e^-3x}{9}dx = - \frac{x^2e^{-3x}}{3} - \frac{2xe^{-3x}}{9} + \int \frac{2e^-{-3x}}{9} = \]

\[ = - \frac{x^2e^{-3x}}{3} - \frac{2xe^{-3x}}{9} - \frac{2e^{-3x}}{27} + C \]

$y = - \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{7} - \frac{2}{27} + Ce^{3x}$

Specialfall

Om $y' + g(x)y = kg(x)$ så blir $e^{G(x)}(y' + g(x)y) = kg(x) e^{G(x)}$ $\frac{d}{dx}(e^{G(x)}y) = k \cdot \frac{d}{dx} e^{G(x)}$

6. Diff. Ekv applikationer

6.1. Riktningsfält

$y' - 4y = \frac{x^2}{2}$ $y' = 4y + \frac{x^2}{2}$

x	y	y'
0	-1	-4
0	0	0
1	0	1/2
1	1	4.5

6.2. Bladningsproblem

Vi har kontainern $V$. och ett inlopp och utlopp. Förhoppningsvis sker

$160L$ rent vatten Tillför färg med en hastighet på $2L/min$ och $6L/min$ med vatten. Totalt $8L/min$. Tömmer därför $8L/min$.

Färgen fördelas perfekt

När $t \to \infty$ så går mängden färg $\to 40$

Låt $y$ vara liter färg efter $t$ minuter $y(0) = 0$ $\frac{dy}{dt} = In - Ut$ $In = 2 liter/min$ :: Derivatan är $\frac{dy}{dt}$ och därför blir enheten $liter/min$.

Efter $t$ minuter är koncentrationen $\frac{y}{160}$ $Ut = 8 \cdot \frac{y}{160} = \frac{y}{20}$ $\frac{dy}{dt}= 2 - \frac{y}{20}$

$\frac{dy}{dt} + \frac{y}{20} = 2$ $I.F. = e^{\frac{t}{20}}$ $e^{t/20}y = \int_{}^{}2e^{t/20}dt = 40e^{t/20} + C$ $y = 40 + Ce^{-t/20}$ $y(0) = 0$ $40 + Ce^{0} = 0$ $C = -40$ $y = 40 - 40e^{-t/20}$ $y \to 40$ då $t \to \infty$ eftersom $e^{-t/20} \to 0$ då $t \to \infty$

Fritt fall

En kraft rakt ner med längden $mg$ och en kraft uppåt $F_L$. $F = m \cdot \frac{dv}{dt}$ $F = mg - F_{L} = m \cdot \frac{dv}{dt}$ $F_{L} = kv^{2}$ $mg - kv^{2} = m \cdot \frac{dv}{dt}$ $\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}\cdot v^{2}$ $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v^{2} = g$

7. Andra ordningens diff. ekv

$y' - 2y = -x$

$e^{-2x}(y'-2y) = -xe^{-2x}$ $\frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = -xe^{-2x}$ $e^{-2x}y = \int -xe^{-2x}dx = \frac{xe^{-2x}}{2}- \int \frac{e^{-2x}}{2}dx = \frac{xe^{-2x}}{2} + \frac{e^{-2x}}{4} + C$ $y = \frac{-x}{2} + \frac{1}{4} + Ce^{2x}$ $\frac{-x}{2} + \frac{1}{4}$ :: Particulärlösning, $y_{p}$ $Ce^{2x}$ :: Allmänt vid 0

Bevis

Om $y_{p}$ är en given lösning till $y' = g(x)y = h(x)$ då är y en lösning till ekvationen omm y är på formen $y = y_{p} + y_{n}$ där $y_{h}$ löser den homogena diff. ekv. dvs då $h(x) = 0$.

Eftersom vi har en linjär diff. ekv. följer att om $y = y_p + y_h$ $\mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(y_p + y_h) =$ $= \mathcal{L}(y_p) + \mathcal{L}(y_h)$ $= h(x) + 0 = h(x)$

Antag av att $y = y_p + y_h$ är lösning vill visa att $y_h$ är lösningen till den homogena diff. ekv. $y = y-y_p$ $\mathcal{L}(y_h) = \mathcal{L}(y - y_p) = \mathcal{L}(y)+ (-1)y_p$ $= \mathcal{L}(y) - \mathcal{L}(y_p) = h(x) - h(x) = 0$

För att lösa en linjär diff ekv. behöver vi:

Lösa den homogena diff. ekv.
Hitta en lösning till den inhomogena.

$\square$

Lös homogena: $y' - 2y = 0$ $y_h = Ce^{2x}$ Antag $y_p = kx+ m$, $y^{'}_{p} = k$ $U.L$ $y'_p - 2y_{p} = k-2(kx+m) = 2kx + k -2m$ Ekvationsystem $y_{p} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ $y = y_p + y_h = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + Ce^{2x}$

Andra ordningens $y'' + a(x)y' + b(x)y = h(x)$ I den här kursen begränsar vi oss till att $a(x)$ och $b(x)$ är konstanter.

$y'' + ay' + by = h(x)$

är $h(x) = 0$ är ekvationen homogen, om inte så är den inhomogen. Lösningar för motsvarande 1:a ordningen är på formen $y_h = Ce^{rx}$. Är detta även en lösning för andra ordningen? För att testa behöver vi stoppa in den, och därför derivera.

$y_{h}' = C \cdot e^{rx}$ $y_{h}'' = C \cdot r^2 e^{rx}$ $U.L = C r^2 e^{rx} + C r a e^{rx} + bce^{rx}$ $= Ce^{rx}(r^2+ ar + b)$

Detta är $0$ då vårt $r^2 + ar + b = 0$.

$r = - \frac{a}{2} ^+_{-} \sqrt{\frac{a^{2}}{4} - b}$ $y_{h} = Ce^{rx}$ är en lösning om $r$ är en lösning till $r^2 + ar + b = 0$. $p(r) = r^2 + ar + b$ är det karaktäristiska polynomet.

Tre fall kan uppstå:

$r_1 + r_2$ och båda är realla
$r_1 = r_2$
$r_1 + r_2$ är komplext

Polynomet $r^2 + ar + b = 0$ om $r_1 \not = r_2$ och realla är $y_h + C_1e^{r_1x} + C_2 e^{r_2 x}$ Om $r_1 = r_2$ $y_h = (C_1 x + C_2) e^{r_1x}$

Ex. $y'' - 6y' + 9y = 0$

Karaktäristiskt polynomet: $r^{2} - 6r + 9$ Lös $r^{2} - 6r + 9$ $r = 3 ^+_{-} \sqrt{3^{3} - 9} = 3$ :: dubbelrot

$y_{h} = (C_1x+ C_2)e^{3x}$

Ex. 2 $y'' + y' - 2y = 0$ $r^{2} + r - 2 = 0$ $r = -\frac{1}{2} ^+_{-} \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = -\frac{1}{2} ^+_{-} \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}}$ $= -\frac{1}{2} ^+_{-} \frac{3}{2}$ $r_{1} = -2$ $r_2 = 1$ $y_{h} = C_1e^{-2x}+ C_2e^{x}$

8. Komplexa tal

$z = x + yi$ komplexa talet $z$ där $x$ och $y$ är realla tal och $i$ är den imaginära enheten som def. $i^2 = -1$.

$x^2 + 1 = 0$ $x^2 = -1$ $x= ^+_-i$

$z_1 = -1 - i$ $Re(z_{1}) = -1$ $Im(z_1) = -1$

Polär form $z = r(\cos{v} + i\sin{v})$ $= re^{vi}$

8.1. Diff. ekv

$y'' + ay' + by = 0$ $p(r) = r^2+ar + b$ $r = - \frac{a}{2} ^+_- \sqrt{\frac{a^{2}}{4} -b}$ Allmänt komplexa lösningar på formen $r_1 = - \frac{a}{2} - \beta i = \alpha - \beta i$, $r_2 = \frac{a}{2} - \beta i = \alpha - \beta i$ $r_1 \not = r_2$

$y= C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} = C_1 e^{(\alpha - \beta i)x} + C_2 e^{{(\alpha + \beta i)x}}$ $= e^{\alpha x}(C_1e^{-\beta ix} + C_2e^{\beta ix})$

$e^{\beta ix} = cos(\beta x) + isin(\beta x)$ $e^{-\beta ix} = cos(- \beta x) + isin(- \beta x) = cos(- \beta x) - isin(\beta x)$

$e^{\alpha x}(C_1 (cos(\beta x) - isin(\beta x)) + C_2 (cos(\beta x))) =$ $= e^{\alpha x}(C_1 + C_2)cos(\beta x) + (C_2 - C_1)isin(\beta x)$ $= e^{\alpha x}(Acos(\beta x) + Bsin(\beta x)$ ::: Använd den här formeln där $\alpha, \beta, A, B$ är realla tal.

Ex. $y'' + 2y' + 2y = 0$ $r^{2} + 2r + 2 = 0$ $r = -1 ^+_- i$

$\alpha =-1$ $\beta = 1$ $y = e^{-x} (Acosx + Bsinx) = e^{-x}Csin(x + v)$ $C = \sqrt{A^2 + B^2}$

\begin{cases} cosv = \frac{A}{C} \\ sinv = \frac{B}{C} \end{cases}

$y'' + ay' + by = 0$ $p(r) = r^2 + ar + b$ $r = - (\frac{a}{2})^2 ^+_- \sqrt{(\frac{a}{2}^2) - b}$ Om $\frac{a}{2}^2-b < 0$ får vi de komplexa rötterna $r_1 = \alpha + \beta i$, $r_2 = \alpha - \beta i$. $y = e^{\alpha x}(Asin\beta x + B cos \beta x)$

Exempel: $y'' + 4y = 0$ $p(r) = r^2 + 4$ $r^2 + 4 = 0$

9. Inhomogena linjära differentialekvationer av andra ordningen

Samtliga lösningar av linjära diff är på formen $y = y_p + y_h$ där$y_h$ är samtliga lösningar på till den homogena ekv. och $y_p$ är en lösning till den inhomogena ekv.

$y'' + ay' + by = h(x)$ $y_h$ är samtliga lösningar till ekvationen $y' + ay' + by = 0$. $y_p$ är en lösning till den inhomogena, dvs. $y_p$ ska uppfylla att $y_p'' + ay_p' + by_p$.

9.1. Specialfall: $h_(x) = c$

$y'' + ay' + by = c$ Ansats: $y_p = d$ $y'_p = y''_p = 0$ $V.L = y''_p ta \cdot y'_p + b\cdot y_p = b \cdot d$ $H.L. = c$ $d= \frac{c}{b}$ OBS: $b \not = 0$

$h(x) = c$ $b = 0$ $y'' + ay' = c$ Ansats: $y_p = kx + m$ $y_p' = k$, $y''_p = 0$ $V.L. y''_p = ay'_p = a\cdot k$ $H.L. = c$ $k = \frac{c}{a}$

9.2. Exempel

$y'' - y' = x^2$ $y = y_p = y_h$ För $y_h$: $y'' - y' = 0$ $r^2 - r$ $r(r - 1) = 0$ $r_1 = 0$ $r_2 = 1$

$y_h = C_1e^{0\cdot x} + c_2e^{1 \cdot x} = C_1 + C_2e^x$

För $y_p$ gör ansatsen $y_p = y_p = ax² + bx + c $ $y' = 3xax^{3} + 2bx + c$ $y'' = bax + 2b$ $V.L = y_p'' + y_p' = bax+2b - 3ax^3 - 2bx - c$ vilket är $x^{2}$.

\begin{cases} 2b - c = 0 \\ 6a - 2b = 0 \\ -3a = 1 \end{cases}

$y'' + 6y' - 7y = 3x^2$ $p(r) = r^2 + 6r - 7$ $p(r) = 0$ $r = -3 ^+_- \sqrt{9 + 7} = 3 ^+_- \sqrt{16}$ $r_1 = 7$, $r_2 = 1$ $y_h = C_1e^{-7x} + C_2e^x$ Ansats $y_p = ax^2 + bx + c$ $y_p' = 2ax + b$ $y_p'' = 2a$ $V.L. = y_p'' + by_p' - 7y_p = 2a + 12ax + 6b -7ax^2 -7bx -7c =$ $= -7ax^2 + (12a - 7b)x + 2a + 6b -7c$

\begin{cases} -7a = 3 \\ 12a - 7b = 0 \\ 2a + 6b - 7c = 0 \end{cases} \begin{cases} a = -\frac{3}{7} \\ b = \frac{12a}{7} = \frac{36}{49}\\ c = \frac{2a + 6b}{7} \end{cases}

Bara att stoppa in

\begin{cases} a = -\frac{3}{7} \\ b = \frac{12a}{7} \\ c = \frac{258}{343} \end{cases}

$y_p = -\frac{3}{7}x^2 + \frac{36}{49}x - \frac{248}{343}$ $y = y_p + y_h = -\frac{3}{7}x^2 + \frac{36}{49}x - \frac{248}{343} + C_1e^{-7x} + C_2e^x$